Question

观察下列方程，并回答问题：
①x²-1=0；②x²+x-2=0；③x²+2x-3=0；④x²+3x-4=0；…．
（1）请你根据这列方程的特点写出第n个方程；
（2）直接写出第2009个方程的根；
（3）说出这列方程的根的一个共同特点．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）由已知中的方程：①x²-1=0；②x²+x-2=0；③x²+2x-3=0；④x²+3x-4=0；…．分析出方程左边多项式项及系数的变化规律，可得答案；
（2）将所得的第2009个方程左边进行因式分析，可得第2009个方程的根；
（3）根据已知中的方程：①x²-1=0；②x²+x-2=0；③x²+2x-3=0；④x²+3x-4=0；…根的特点，可得答案

解答： 解：（1）由已知中的方程：
①x²-1=0；
②x²+x-2=0；
③x²+2x-3=0；
④x²+3x-4=0；…．
归纳可得，第n个方程为：x²+（n-1）x-n=0，
（2）第2009个方程为：x²+2008x-2009=0，
此方程可化为：（x+2009）（x-1）=0，
故第2009个方程的根为：1，-2009，
（3）这列方程的根共有两个，一个是1，一个是-n．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．