Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，且AB=4，BC=CD=2，点P为线段AB上的一动点，过点P作直线l⊥AB，令AP=x，记梯形位于直线l左侧部分的面积S=f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的图象

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）过D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形BCDE为正方形，当0≤x≤2时，梯形位于直线l左侧部分为等腰直角三角形，由三角形的面积公式即可得到；当2＜x≤4时，梯形位于直线l左侧部分为等腰△ADE和矩形DEMN，由三角形的面积公式和矩形面积公式即可得到；
（2）作出分段函数的图象，注意各段的自变量的范围．

解答： 解：（1）过D作DE⊥AB，垂足为E，
则四边形BCDE为正方形，且AE=DE=2，
∠DAE=45°，
当0≤x≤2时，梯形位于直线l左侧部分为等腰直角三角形，则S=

1

2

x²；
当2＜x≤4时，梯形位于直线l左侧部分为
等腰△ADE和矩形DEMN，
则S=

1

2

×2²+2（x-2）=2x-2．
故f(x)=

1 2 x2，x∈[0，2] 2x-2，x∈(2，4]

；
（2）函数f（x）的图象如右图所示．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的解析式的求法和图象画法，属于中档题．