Question

直线L过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F且与C相交于A、B两点，且AB的中点M的坐标为（3，2），则抛物线C的方程为（　　）

• A、y²=2x或y²=4x
• B、y²=4x或y²=8x
• C、y²=6x或y²=8x
• D、y²=2x或y²=8x

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先利用点差法，求出AB的斜率，可得直线AB的方程为y=

p

2

（x-

p

2

），代入y²=2px，利用中点坐标公式，即可得出抛物线C的方程．

解答： 解：抛物线y²=2px的焦点为F（

p

2

，0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减可得：y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂），
∴k_AB=

2p

y1+y2

=

p

2

，
直线AB的方程为y=

p

2

（x-

p

2

），代入y²=2px，可得4px²-（4p²+32）x+p³=0
可得x₁+x₂=

p2+8

p

=6，解之得p=2或4，
∴物线C的方程为y²=4x或y²=8x．
故选：B．

点评：本题考查抛物线C的方程，考查点差法，考查学生的计算能力，比较基础．