Question

已知在空间四边形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC，PA、PB与平面ABC所成角分别是30°、45°
（1）直线PC与AB能否垂直？证明你的结论；
（2）若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）直线PC与AB不能垂直，利用反证法进行证明即可；
（2）作HE⊥AB于E，证明PE就是点P到直线AB的距离，即可得出结论．

解答： 解：（1）直线PC与AB不能垂直，证明如下：
假设PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC内的射影，
∴HC⊥AB，
∵PA，PB在平面ABC内的射影分别为HB，HA，PA⊥PC，PB⊥BC，
∴BH⊥BC，AH⊥AC，
∵AC⊥BC，
∴平行四边形ACBH为矩形．
∵HC⊥AB，
∴ACBH为正方形，
∴HB=HA，
∵PH⊥平面ABC，
∴△PHB℃△PHA，
∴∠PBH=∠PAH，且PA、PB与平面ABC所成角分别为∠PAH，∠PBH，
∴∠PAH=30°，∠PBH=45°，
与∠PBH=∠PAH矛盾，
∴直线PC与AB不能垂直；
（2）由已知PH=h，∴∠PBH=45°，
∴BH=PH=h，
∵∠PAH=30°，
∴HA=

3

h，
∴矩形ACBH中，AB=

BH2+HA2

=2h，
作HE⊥AB于E，
∴HE=

HB•HA

AB

=

3

2

h，
∵PH⊥平面ACBH，HE⊥AB，
∴由三垂线定理有PE⊥AB，
∴PE就是点P到直线AB的距离，
在Rt△PHE中，PE=

PH2+HE2

=

7

2

h．

点评：本题考查线线位置关系，考查点P到直线AB的距离，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．