Question

设△ABC三边长为a、b、c，与之对应的三条高分别为H_a，H_b，H_c，若满足关系：

3a

Ha

-

b

Hb

+

6c

Hc

=6．
（1）求证S=

1

12

（3a²-b²+6c²）（S是△ABC的面积）；
（2）试用b、c表示sin（A+45°），并求出角A的大小．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：（1）利用S=

1

2

aH_a=

1

2

bH_b=

1

2

cH_c，可得H_a=

2S

a

，H_b=

2S

b

，H_c=

2S

c

，代入

3a

Ha

-

b

Hb

+

6c

Hc

=6，即可证明结论；
（2）利用S=

1

12

（3a²-b²+6c²），结合余弦定理，三角形的面积公式，化简可得6bc（sinA+cosA）=2b²+9c²，即可用b、c表示sin（A+45°），利用基本不等式可求出角A的大小．

解答： （1）证明：∵△ABC三边长为a、b、c，与之对应的三条高分别为H_a，H_b，H_c，
∴S=

1

2

aH_a=

1

2

bH_b=

1

2

cH_c，
∴H_a=

2S

a

，H_b=

2S

b

，H_c=

2S

c

，
∵

3a

Ha

-

b

Hb

+

6c

Hc

=6，
∴

3a2-b2+6c2

2S

=6，
∴S=

1

12

（3a²-b²+6c²）；
（2）解：∵3a²-b²+6c²=12S，a²=b²+c²-2bccosA，
∴3b²+3c²-6bccosA-b²+6c²=12•

1

2

bcsinA
∴6bcsinA+6bccosA=2b²+9c²，
∴6bc（sinA+cosA）=2b²+9c²，
∴sin（A+45°）=

2b2+9c2

6 2 bc

．
∵2b²+9c²≥2

2b2•9c2

=6

2

bc，
∴sin（A+45°）≥1，
又∵sin（A+45°）≤1，∴sin（A+45°）=1．
∴A+45°=90°，∴A=45°．

点评：本题考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确表示sin（A+45°）是关键．