Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的

3

倍，其上一点到右焦点的最短距离为

3

-

2

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+1交椭圆C于A，B两点，当|AB|=2时求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用长轴长是短轴长的

3

倍，其上一点到右焦点的最短距离为

3

-

2

，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）直线l：y=kx+1代入

x2

3

+y2=1，利用弦长公式求出|AB|，利用|AB|=2，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答： 解：（1）由题可知：a-c=

3

-

2

，a=

3

b，
∴a=

3

，b=1
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1；------------------------（5分）
（2）直线l：y=kx+1代入

x2

3

+y2=1，可得（3k²+1）x²+6kx=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁=0，x₂=-

6k

3k2+1

∴|AB|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

1+k2

•|-

6k

3k2+1

|=2-------------------（9分）     
∴k=±

3

3

，
∴直线l的方程为：y=±

3

3

x+1------------------------（12分）

点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，考查弦长公式，考查推理论证能力、运算求解能力和创新意识．