Question

19．已知函数f（x）=sin2ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+sin（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；        
（2）求函数f（x）在区间（0，π）上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式及二倍角公式求得f（x），由函数的周期公式，即可求得ω的值；
（2）由（1）可知，利用函数的单调性，求得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，即可求得f（x）在区间（0，π）上的单调增区间．

解答 解：（1）f（x）=sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωxsinωx+sin（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$），
=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（cos²ωx-sin²ωx），
=$2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$；…（5分）
由题意得$\frac{2π}{2ω}=π$，即可得ω=1…（6分）
（2）由（1）知$f（x）=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$
则由函数单调递增性可知：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
整理得：$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$…（9分）
∴f（x）在（0，π）上的增区间为$（{0，\frac{π}{3}}]$，$[{\frac{5π}{6}，π}）$…（12分）

点评 本题考查正弦函数的性质，考查辅助角公式及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于中档题．