题目内容

8．某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（Ⅱ）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈．设选出的3人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）考核分笔试和答辩两项．5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为$s_1^2$，$s_2^2$，试比较$s_1^2$与$s_2^2$的大小．（只需写出结论）

分析 （Ⅰ）利用抽取的比例即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式即可得出．数学期望$EX=1×\frac{3}{10}+2×\frac{6}{10}+3×\frac{1}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$． …（10分）
（Ⅲ）利用方程计算公式即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）抽取的5人中男员工的人数为$\frac{5}{45}×27=3$，
女员工的人数为$\frac{5}{45}×18=2$．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抽取的5名员工中，有男员工3人，女员工2人．
所以，随机变量X的所有可能取值为1，2，3．
根据题意，$P（X=1）=\frac{C_3^1•C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，$P（X=2）=\frac{C_3^2•C_2^1}{C_5^3}=\frac{6}{10}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3•C_2^0}{C_5^3}=\frac{1}{10}$．
随机变量X的分布列是：

X123
P$\frac{3}{10}$$\frac{6}{10}$$\frac{1}{10}$
数学期望$EX=1×\frac{3}{10}+2×\frac{6}{10}+3×\frac{1}{10}=\frac{18}{10}=\frac{9}{5}$． …（10分）
（Ⅲ）$s_1^2=s_2^2$．          …（13分）

点评 本题考查了分层抽样、超几何分布列的概率与数学期望计算公式、方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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