Question

7．已知椭圆${C_{\;}}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，一个短轴端点到焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线l：x+4y-2=0，过点A（2，2）作直线m交椭圆C于不同的两点E，F交直线l于点K，问：是否存在常数t，使得$\frac{1}{|AE|}+\frac{1}{|AF|}=\frac{t}{|AK|}$恒成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，列方程组，求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）求得K的横坐标，将直线方程代入椭圆方程，$\frac{|AK|}{|AE|}+\frac{|AK|}{|AF|}=|{x_A}-{x_k}|•（\frac{1}{{|{x_A}-{x_E}|}}+\;\frac{1}{{|{x_A}-{x_F}|}}）$，利用韦达定理，即可求得t的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ a=2\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．       …（4分）
（Ⅱ） 设直线m的方程为y=kx+b，有b=2-2k．
解得点K的横坐标${x_K}=\frac{2-4b}{1+4k}$，…（5分）
将直线m代入椭圆方程得：（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
由韦达定理，得${x_E}+{x_F}=\frac{-8kb}{{1+4{k^2}}}$，${x_E}{x_F}=\frac{{4{b^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，…（7分）
所以$\frac{|AK|}{|AE|}+\frac{|AK|}{|AF|}=|{x_A}-{x_k}|•（\frac{1}{{|{x_A}-{x_E}|}}+\;\frac{1}{{|{x_A}-{x_F}|}}）$=$|2-\frac{2-4b}{1+4k}|•\frac{{|4-（{x_F}+{x_E}）|}}{{|4-2（{x_F}+{x_E}）+{x_F}{x_E}|}}$=$|\frac{8k+4b}{1+4k}|•\frac{{|4{k^2}+2bk+1|}}{{|4{k^2}+4bk+{b^2}|}}$=2．…（11分）
∴存在实数t=2，使得$\frac{1}{|AE|}+\frac{1}{|AF|}=\frac{t}{|AK|}$恒成立…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．