Question

设a为实数，函数f（x）=x|x-6a|+|a|x+b．
（1）若f（x）为奇函数，求a，b的值；
（2）若b=1，试讨论方程f（x）=0的零点情况．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=x|x-6a|+|a|x+b为奇函数知f（0）=b=0，f（1）+f（-1）=|1-6a|+|a|-|-1-6a|-|a|=0，从而解得；
（2）由题意，f（x）=x|x-6a|+|a|x+1，讨论去绝对值号，从而讨论方程的根的个数．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x-6a|+|a|x+b为奇函数，
∴f（0）=b=0；
f（1）+f（-1）=|1-6a|+|a|-|-1-6a|-|a|=0，
解得，a=0；
故f（x）=x|x|，
经检验为奇函数；
（2）由题意，f（x）=x|x-6a|+|a|x+1，
当a=0时，f（x）=x|x|+1=0，
解得，x=-1；
当a＞0时，
f（x）=x|x-6a|+ax+1=0；
可化为x²-7ax-1=0；
方程的负根是x|x-6a|+ax+1=0的根；
当a＜0时，f（x）=x|x-6a|-ax+1=0可化为x²-7ax+1=0（x＞6a）；
当△=0，即a=-

2

7

时，x=-1；
当△＞0，即a＜-

2

7

时，
当6a•6a-7a•6a+1＞0，即-

6

6

＜a＜-

2

7

时，有两个解，
当6a•6a-7a•6a+1≤0，即a≤-

6

6

时，有一个解；
也可化为x²-5ax-1=0（x≤6a）；
6a•6a-5a•6a-1≤0，-

6

6

≤a＜0时，有一个解，
当6a•6a-5a•6a-1＞0，-

6

6

＞a时，无解，
综上所述，当a≥-

2

7

时，方程有一个解，
当a=-

2

7

时方程有2个解，
当-

6

6

＜a＜-

2

7

时方程有3个解，
当a=-

6

6

时有两个解，
当a＜-

6

6

时有1个解．

点评：本题考查了函数的性质应用，属于基础题．