Question

设函数f（x）=

x2+1

-ax（a＞0），求a的取值范围，使函数f（x）在（0，+∞）上是单调函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：求f′（x），讨论a的取值，并判断f′（x）的符号，从而判断出f（x）在（0，+∞）上的单调性，找出使f（x）在（0，+∞）上是单调函数的a的取值范围即可．

解答： 解：f′（x）=

x

x2+1

-a=

(1-a2)x2-a2

x2+1 (x+a x2+1 )

；
①若a=1，则在（0，+∞）上f′（x）＜0，所以满足f（x）在（0，+∞）上是单调函数；
②若a＞1，1-a²＜0，则在（0，+∞）上f′（x）=

(1-a2)(x2- a2 1-a2 )

x2+1 (x+a x2+1 )

＜0，满足f（x）在（0，+∞）上是单调函数；
③若0＜a＜1，1-a²＞0，则在（0，+∞）上f′（x）＞0，或f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上没有单调性；
∴综上得a的取值范围为[1，+∞）．

点评：考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，以及复合函数的求导．