Question

已知二次函数f（x）=ax²+（a-1）x+1．
（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）关于x的不等式

f(x)+a-1

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知，

a＜0 - a-1 2a ≥-1

，从而解得；
（2）故关于x的不等式

f(x)+a-1

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立可化为ax²+（a-3）x+a≥0在x∈[1，2]上恒成立；从而化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+（a-1）x+1在（-∞，-1）上单调递增，
∴

a＜0 - a-1 2a ≥-1

，
解得，a≤-1；
（2）不等式

f(x)+a-1

x

≥2可化为ax²+（a-3）x+a≥0；
故关于x的不等式

f(x)+a-1

x

≥2在x∈[1，2]上恒成立可化为
ax²+（a-3）x+a≥0在x∈[1，2]上恒成立；
故a+a-3+a≥0；
故a≥1；
此时，-

a-3

2a

=-

1

2

+

3

2a

≤1；
故ax²+（a-3）x+a在[1，2]上是增函数，
故只需使a+a-3+a≥0；
故a≥1．

点评：本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题，属于基础题．