Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），下列命题：
①若方程f（x）=x无实数根，则方程f[f（x）]=x也一定没有实数根；
②若a＞0，且方程f（x）=x无实数根，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若1＜a＜3，b=2a，且有x₁＜x₂，x₁+x₂=1-a，则f（x₁）＜f（x₂）．
其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，可知：
①f[f（x）]=x也一定没有实数根；可得：①正确；
②若a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②错误；
③若1＜a＜3，b=2a，则函数f（x）的图象开口朝上，且以直线x=-1为对称轴，根据x₂距离对称轴更远，可得③正确；

解答： 解：由函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，可知：
①f[f（x）]=x也一定没有实数根；故①正确；
②若a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，必有f[f（x₀）]＜x₀，故②错误；
③若1＜a＜3，b=2a，则函数f（x）的图象开口朝上，且以直线x=-1为对称轴，
又由x₁＜x₂，x₁+x₂=1-a∈（-2，0），则x₂距离对称轴更远，故f（x₁）＜f（x₂）．故③正确；
故正确的结论的序号为：①，③，
故答案为：①，③

点评：本题考查二次函数的性质，难点在于对函数的图象与性质的正确理解与应用，属于难题．