题目内容
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．给出下列五个命题：①对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是
| 1 |
| 6 |
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积是
| π |
| 6 |
⑤在正方形ABCD内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点的轨迹为一段抛物线．
其中正确命题的序号为①②④将你认为正确命题的序号都填上）．
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：①如图所示，假设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，可得AM⊥平面A1BD．可得
AM•
×(
)2=
×
×12×1，解得AM=
AC1，即可判断出；
②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为
，
，
．即可得出表面积之比；
③而以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积V=13-4×
=
，不是
，即可判断出；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=
×
×13=
；
⑤以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点P（x，y，0）的轨迹为：：
=
，化为y=1（0≤x≤1），为线段BC，即可判断出．
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
③而以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积V=13-4×
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=
| 1 |
| 8 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 6 |
⑤以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点P（x，y，0）的轨迹为：：
| (1-x)2+y2 |
| 1+(1-x)2 |
解答：
解：①如图所示，
假设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，可得AM⊥平面A1BD．∴
AM•
×(
)2=
×
×12×1，解得AM=
=
AC1，
因此对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分，正确；
②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为
，
，
．因此表面积之比=4π(
)2：4π(
)2：4π(
)2=1：2：3，正确；
③而以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积V=13-4×
=
，不是
，不正确；
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=
×
×13=
，正确；
⑤以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点P（x，y，0）的轨迹为：
=
，化为y=1（0≤x≤1），为线段BC，不正确．
故答案为：①②④．
假设对角线AC1与平面A1BD相交于点M，可得AM⊥平面A1BD．∴| 1 |
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| ||
| 4 |
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
因此对角线AC1被平面A1BD和平面B1CD1三等分，正确；
②设正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
③而以A1，B，D，C1为顶点的三棱锥的体积V=13-4×
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 6 |
④正方体与以A为球心，1为半径的球的公共部分的体积V=
| 1 |
| 8 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 6 |
⑤以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，在正方形ABCD内，到顶点A与棱A1B1的距离相等的点P（x，y，0）的轨迹为：
| (1-x)2+y2 |
| 1+(1-x)2 |
故答案为：①②④．
点评：本题考查立体几何线线、线面、面面位置关系及体积计算等知识，考查了空间想象能力，考查了计算能力，属于较难题．
练习册系列答案
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A、
| ||||
B、
| ||||
| C、|a|＞|b| | ||||
| D、a2＞b2 |
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| A、x+y=y-2 |
| B、m=m+1 |
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sin2（π-α）+cos（-α）•sin（
-α）的值为（ ）
| π |
| 2 |
| A、cos2α |
| B、2sin2α |
| C、1 |
| D、0 |