Question

已知函数f（x）=ae^x+blnx（a，b为常实数）的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意的正数a，存在正数b，使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
②当a＞0，b＜0时，函数f（x）存在最小值；
③若ab＜0时，则f（x）一定存在极值点；
④若ab≠0时，方程f（x）=f′（x）在区间（1，2）内有唯一解；
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,导数的综合应用

分析：求出函数f（x）的导函数，
对于①，可知原函数为增函数，由x→0时的函数值的情况可知①不正确；
对于②，把导函数变形，得到两个辅助函数，利用两函数图象在交点两侧的图象高低判断出原函数在定义域内先减后增，有最小值；
对于③，利用②的判断方法加以判断；
对于④，把方程f（x）=f′（x）等价变形，然后由函数零点的判断方法加以判断．

解答： 解：由f（x）=ae^x+blnx，得
f′(x)=aex+

b

x

，原函数定义域为（0，+∞），
①若a，b∈（0，+∞），则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞0且x→0时，e^x→1，lnx→-∞，
∴不能保证任意的x∈D，都有f（x）＞0；
②当a＞0，b＜0时，y=ae^x与y=-

b

x

的图象在第一象限有交点（x₁，y₁），
且x∈（0，x₁）时-

b

x

＞aex，当x∈（x₁，+∞）时-

b

x

＜aex，
∴f（x）在定义域内先减后增，故存在最小值；
③ab＜0等价于a＞0，b＜0或a＜0，b＞0，
当a＜0，b＞0时相当于在②条件下提取一负号即可，正确；
④由f（x）=f′（x），得aex+

b

x

=aex+blnx⇒

1

x

=lnx，即

1

x

-lnx=0，
方程

1

x

-lnx=0的解即为g(x)=

1

x

-lnx的零点，
而g（1）＞0且g(2)=

1

2

-ln2=ln

e

-ln2＜0，
∴方程f（x）=f′（x）在区间（1，2）内有唯一解正确．
∴正确命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的单调性与其导函数的符号间的关系，训练了函数零点的判断方法，是中档题．