题目内容

节能灯的质量通过其正常使用时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6千小时的产品为优质品．现用A，B两种不同型号的节能灯做实验，各随机抽取部分产品作为样本，得到实验结果的频率直方图如图所示：
若以上述实验结果中使用时间落入各组的频率作为相应的概率．
（Ⅰ）现从大量的A，B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，求恰有两件是优质品的概率；
（Ⅱ）已知A型节能灯的生产厂家对使用时间小于6千小时的节能灯实行“三包”．通过多年统计发现，A型节能灯每件产品的利润y（单位：元）与使用时间t（单位：千小时）的关系式如下表：
使用时间t（单位：千小时） t＜4 4≤t＜6 t≥6
每件产品的利润y（单位：元） -20 20 40
若从大量的A型节能灯中随机抽取2件，其利润之和记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）分别求出从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率和从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率，由此能求出从A、B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，恰有两件是优质品的概率．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为-40，0，20，40，60，80，分别求出P（X=-40），P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60），P（X=80），由此能求出X的分布列及数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）从A型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率P（A）=
1
2
，
从B型号节能灯中随机抽取一件产品为优质品的概率为P（B）=
2
5
，
∴从A、B两种型号节能灯中各随机抽取两件产品，
恰有两件是优质品的概率
P=
C
1
2
(
1
2
)(
1
2
)
×C
1
2
(
2
5
)(
3
5
)+
C
2
2
(
1
2
)2
×C
2
2
(
3
5
)2+
C
2
2
(
1
2
)2
C
2
2
(
2
5
)2=
37
100
．
（Ⅱ）由题意知X的可能取值为-40，0，20，40，60，80，
P（X=-40）=
C
2
2
(
1
10
)2=
1
100
，
P（X=0）=
C
1
2
(
1
10
)×(
2
5
)=
2
25
，
P（X=20）=
C
1
2
(
1
10
)×(
1
2
)=
1
10
，
P（X=40）=
C
2
2
(
2
5
)2=
4
25
，
P（X=60）=
C
1
2
(
2
5
)(
1
2
)=
2
5
，
P（X=80）=
C
2
2
(
1
2
)2=
1
4
，
∴X的分布列为：
 X -40  0  20  40  60  80
 P  
1
100
  
2
25
  
1
10
  
4
25
  
2
5
  
1
4
∴EX=-40×
1
100
+0×
2
25
+20×
1
10
+40×
4
25
+60×
2
5
+80×
1
4
=52．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=aex+blnx（a，b为常实数）的定义域为D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意的正数a，存在正数b，使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
②当a＞0，b＜0时，函数f（x）存在最小值；
③若ab＜0时，则f（x）一定存在极值点；
④若ab≠0时，方程f（x）=f′（x）在区间（1，2）内有唯一解；
其中正确命题的序号是
 
．
设平面α、β，直线a、b，a?α，b?α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的（　　）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
已知实数x，y满足
x≥1
y≥1
x+y≤5
时，z=
x
a
+
y
b
 （a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（　　）
A、7B、8C、9D、10
执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（　　）
A、3B、-6C、10D、-15
设等差数列{an}的前n项和为Sn，满足：a2+a4=18，S7=91．递增的等比数列{bn}前n项和为Tn，满足：b1+bk=66，b2bk-1=128，Tk=126．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对?n∈N*，均有
c1
b1
+
c2
b2
+…+
cn
bn
=an+1成立，求c1+c2+…+c2013．
已知数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足3Sn=Sn-1+2（n≥2，n∈N*），b1=
2
3
．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn=an•bn，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．
已知Sn是等差数列{an}的前n项和，满足a3=4，S7=35；Tn是数列{bn}的前n项和，满足：Tn=2bn-2（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求数列cn=
an
an+1
+
log2bn+1
log2bn
的前n项和Rn．
已知实数x，y满足方程（x-2）2+y2=1，那么
y
x
的最大值为（　　）
A、
1
2
B、
3
2
C、
3
3
D、
3

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