Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx的图象为曲线E．
（1）若a=3，b=-9，求函数f（x）的极值；
（2）若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）若a=3，b=-9，利用函数的极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；
（2）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线方程的斜率，建立方程关系即可得到结论．．

解答： 解：（1）若a=3，b=-9，则f（x）=x³-3x²-9x
∴f′（x）=3x²-6x-9，
则由f′（x）=3x²-6x-9＞0，解得x＞3或x＜-1，此时函数单调递增，
由f′（x）=3x²-6x-9＜0，解得-1＜x＜3，此时函数单调递减，
∴当x=-1时，函数f（x）取得极大值f（-1）=5，
当x=3时，函数f（x）取得极小值f（3）=-27．
（2）∵f（x）=x³-ax²+bx，
∴f′（x）=3x²-2ax+b，
设切点P（x₀，y₀），
则在P点处的切线斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2ax₀+b，
∵在P点处的切线与x轴平行，
∴k=f′（x₀）=3x₀²-2ax₀+b=0有两个解，
则判别式△=4a²-12b≥0，
即a²≥3b．

点评：本题主要考查函数导数的几何意义以及函数极值和导数之间的关系，利用导数的几何意义是解决本题的关键．