Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{c_n}满足c_n=

1

Sn

，{c_n}的前n项和T_n，求证：T_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

q+3+a2=12 q= 3+a1 q

，解得q=3，a₂=6，由此能求出a_n与b_n．
（2）由Sn=

n(3+3n)

2

，得c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能证明T_n＜

2

3

．

解答： 解：（1）∵在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，
等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，
且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
∴

q+3+a2=12 q= 3+a1 q

，
解得q=3或q=-4（舍去），
∴a₂=6，d=a₂-a₁=6-3=3，
∴a_n=3+（n-1）•3=3n
b_n=3^n-1．
（2）∵Sn=

n(3+3n)

2

∴c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

2

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

2

3

(1-

1

n+1

)，
∴T_n＜

2

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．