Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n+3n²+3n+2-

1

n(n+1)

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由an+1-an=3n2+3n+2-(

1

n

-

1

n+1

)，利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由

1

an

=

1

2

(

1

n2-n+1

-

1

n2+n+1

)，能证明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．

解答： （本小题满分13分）
解：（1）因为数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n+3n²+3n+2-

1

n(n+1)

，n∈N^*．
所以an+1-an=3n2+3n+2-(

1

n

-

1

n+1

)，…（2分）
所以an=a1+

n-1

k=1

(ak+1-ak)=3+

n-1

k=1

(3k2+3k+2)-

n-1

k=1

(

1

k

-

1

k+1

)…（5分）
=3+3×

1

6

(n-1)n(2n-1)+3×

n(n-1)

2

+2(n-1)-(1-

1

n

)=n3+n+

1

n

…（8分）
（2）因为

1

an

=

n

n4+n2+1

=

n

(n2+1)2-n2

=

n

(n2+n+1)(n2-n+1)

=

1

2

(

1

n2-n+1

-

1

n2+n+1

)，
…（10分）
所以

n

k=1

1

ak

=

1

2

n

k=1

(

1

k2-k+1

-

1

k2+k+1

)=

1

2

[1-

1

n(n+1)+1

]＜

1

2

，
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．