Question

3．已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，利用图象在x=1处的切线方程为y=-12x，可得f′（1）=12+2a+b=-12，且4+a+b+5=-12，联立求出a，b得答案；
（2）把a，b代入导函数，再由导函数大于0求解一元二次不等式得y=f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由f（x）=4x³+ax²+bx+5，得f′（x）=12x²+2ax+b，
∴f′（1）=12+2a+b=-12，且4+a+b+5=-12，
联立上两式解得：a=-3，b=-18．
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5；
（2）把a=-3，b=-18代入f′（x）=12x²+2ax+b，
得f′（x）=12x²-6x-18，
由f′（x）=12x²-6x-18＞0，得x＜-1或x＞$\frac{3}{2}$．
∴y=f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）∪（$\frac{3}{2}，+∞$）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．