Question

14．已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式，f（x）+f（x+3）≤4；
（2）若a＞0，求证：f（ax）+af（x）≥f（a）．

Answer 1

分析 （1）通过当x≤-2时，当-2＜x≤1时，当x＞1时，去掉绝对值符号，然后求解不等式即可．
（2）化简f（ax）+af（x）=|ax-1|+a|x-1|，利用绝对值的几何意义，证明即可．

解答 解：（1）由题意，得f（x）+f（x+3）=|x-1|+|x+2|，
因此只需解不等式|x-1|+|x+2|≤4．
当x≤-2时，原不等式等价于-2x-1≤4，即$-\frac{5}{2}≤x≤-2$；
当-2＜x≤1时，原不等式等价于3≤4，即-2＜x≤1；
当x＞1时，原不等式等价于2x+1≤4，即$1＜x≤\frac{3}{2}$，
综上，原本不等式的解集为$\left\{{x|-\frac{5}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$．
（2）证明：由题意得f（ax）+af（x）=|ax-1|+a|x-1|=|ax-1|+|ax-a|≥|（ax-1）-（ax-a）|=|a-1|=f（a）
所以a＞0，f（ax）+af（x）≥f（a）．

点评 本题考查绝对值不等式的证明以及不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．