Question

18．（1）已知x＜-2，求函数$y=2x+\frac{1}{x+2}$的最大值．
（2）若实数x、y满足x²+y²+xy=1，求x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由x＜-2，可得x+2＜0，-（x+2）＞0．变形为y=2（x+2）+$\frac{1}{x+2}$-4=-[-2（x+2）+$\frac{-1}{x+2}$]-4，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）x²+y²+xy=（x+y）²-xy=1，可得（x+y）²=xy+1≤（$\frac{x+y}{2}$）²+1．即可得出．

解答 解：（1）∵x＜-2，∴x+2＜0，-（x+2）＞0．
∴y=2（x+2）+$\frac{1}{x+2}$-4=-[-2（x+2）+$\frac{-1}{x+2}$]-4≤-2-4=-2-4．
当且仅当-2（x+2）=（x＜-2），即x=-2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y取最大值-2$\sqrt{2}$-4．
（2）x²+y²+xy=（x+y）²-xy=1，
∴（x+y）²=xy+1≤（$\frac{x+y}{2}$）²+1．∴（x+y）²≤$\frac{3}{4}$．
∴x+y≤$\frac{2}{3}$．当且仅当x=y=时等号成立．

点评 本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．