Question

15．（1）解不等式$\frac{x+5}{{{{（x-1）}^2}}}＞2$；
（2）若不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集为R，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将原不等式化简变形可得2x²-5x-3＜0，且x-1≠0，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；
（2）讨论二次项的系数和判别式的符号，结合二次函数的图象和不等式的解法，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）不等式$\frac{x+5}{{{{（x-1）}^2}}}＞2$，
等价为$\frac{x+5}{（x-1）^{2}}$-2＞0，
即为$\frac{2{x}^{2}-5x-3}{（x-1）^{2}}$＜0，
可得2x²-5x-3＜0，且x-1≠0，
解得-$\frac{1}{2}$＜x＜3且x≠1，
则原不等式的解集为{x|-$\frac{1}{2}$＜x＜3且x≠1}；
（2）不等式kx²-2x+6k＜0（k≠0）的解集为R，
当k＜0时，判别式△＜0，
即有4-24k²＜0，即为k＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$或k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
则k＜-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
当k＞0时，原不等式的解集不为R．
综上可得k的取值范围为（-∞，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）．

点评 本题考查分式不等式的解法，注意等价变形，考查二次不等式恒成立问题的解法，注意讨论二次项的系数，考查运算能力，属于中档题．