Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

（n∈N^*），S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄并推证数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁∈[

1

2

，

3

2

]，求证：|S_n-

n(n+1)

2

|＜1（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于a_n+1=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

（n∈N^*），a₁=1，可得a₂=2，a₃=3，a₄=4．猜想a_n=n．用数学归纳法证明即可．
（2）由于a_n+1-（n+1）=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

-（n+1）=

an

a 2 n +1

（a_n-n），|a_n+1-（n+1）|=|

an

a 2 n +1

||an-n|．当a_n≠0时，当a_n=0时，|

an

a 2 n +1

|≤

1

2

．可得|an+1-(n+1)|≤

1

2

|an-n|，而|a1-1|≤

1

2

．|a_n-n|≤

1

2

|an-1-(n-1)|≤…≤(

1

2

)n-1|a1-1|≤(

1

2

)n．利用|S_n-

n(n+1)

2

|=|（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）|≤|a₁-1|+|a₂-2|++…+|a_n-n|，即可证明．

解答： （1）解：∵a_n+1=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

（n∈N^*），a₁=1，
∴a₂=2，a₃=3，a₄=4．
猜想a_n=n．
下面用数学归纳法证明．
当n=1时，成立；
假设当n=k（k∈N^*）时，a_k=k．
则当n=k+1时，a_k+1=

(k+2)k2-k2+k+1

k2+1

=k+1．
∴当n=k+1时，也成立．
∴a_n=n．
（2）证明：∵a_n+1-（n+1）=

(n+2) a 2 n -nan+n+1

a 2 n +1

-（n+1）=

an

a 2 n +1

（a_n-n），
∴|a_n+1-（n+1）|=|

an

a 2 n +1

||an-n|，
（i）当a_n≠0时，|

an

a 2 n +1

|=|

1

an+ 1 an

|≤

1

2

，（ii）当a_n=0时，|

an

a 2 n +1

|=0≤

1

2

．
∴|an+1-(n+1)|≤

1

2

|an-n|，而|a1-1|≤

1

2

．
∴|a_n-n|≤

1

2

|an-1-(n-1)|≤…≤(

1

2

)n-1|a1-1|≤(

1

2

)n．
∴|S_n-

n(n+1)

2

|=|（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）|≤|a₁-1|+|a₂-2|++…+|a_n-n|
≤

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1．
∴|S_n-

n(n+1)

2

|＜1（n∈N^*）．

点评：本题考查了数学归纳法、猜想能力、不等式的性质、基本不等式的性质、含绝对值不等式的性质，考查了放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．