Question

给定两个命题：p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值范围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值范围，则命题p，q中一个为真，分类讨论后，即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；
关于x的方程x²-x+a=0有实数根?△=1-4a≥0?a≤

1

4

；
p和q中至少有一个为真命题
如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞

1

4

，
∴

1

4

＜a＜4；
如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0；
如果p真q真，则有0≤a＜4，且a≤

1

4

，
∴0≤a≤

1

4

；
所以实数a的取值范围为（-∞，4）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．