Question

已知数列{a_n}满足：a₁=0且

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1- an+1

n

（n∈N₊），数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件构造等差数列，利用等差数列的通项公式即可求{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法进行求和．

解答： 解：（1）∵

1

1-an+1

-

1

1-an

=1．
∴{

1

1-an

}是公差为1的等差数列，
又

1

1-a1

=1，
则

1

1-an

=1+n-1=n，
故a_n=1-

1

n

．
（2）由（1）得b_n=

1- an+1

n

=

n+1 - n

n+1 • n

=

1

n

-

1

n+1

，
则S_n=b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用构造法以及裂项法是解决本题的关键．