题目内容

在△ABC中，顶点B，C的坐标分别为B（-3，0），C（3，0），AC，BC边上的两条中线BD，CE之和为12，则△ABC的重心G的轨迹方程为
 
．
考点：轨迹方程
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：根据三角形重心的性质可得G到B、C两点的距离之和等于12，因此G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆．利用题中数据加以计算可得相应的椭圆方程，注意到点G不能落在x轴上得到答案．
解答： 解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE
∵BG=
2
3
BE，CG=
2
3
CD
∴BG+CG=
2
3
（BE+CD）=8（定值）＞6
因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=8，c=3
∴a=4，b=
7
，可得椭圆的方程为
x2
16
+
y2
7
=1
∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC
∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为
x2
16
+
y2
7
=1（y≠0）
故答案为：
x2
16
+
y2
7
=1（y≠0）．
点评：本题给出三角形两条中线长度之和等于定值，求重心G的轨迹方程．着重考查了三角形重心的性质、椭圆的定义与标准方程和轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（不等式选做题）若不等式|x+2|+|x-3|≥a+
4
a-1
对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是
 
．
已知A、B为抛物线x2=2py（p＞0）上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则
①
CF
•
DF
=0；
②存在实数λ使得
AD
=λ
AO
（点O为坐标原点）；
③若线段AB的中点P在准线上的射影为T，有
FT
•
AB
=0；
④抛物线在A点的切线和在B点切线一定相交，并且相互垂直．
其中说法正确的个数为（　　）
A、1B、2C、3D、4
在△ABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
=1，则c=
 
．
已知向量
m
=(cos
ωx
2
，sinωx-
3
3
)， 
n
=(2cos
ωx
2
，
3
)，且x∈R，ω＞0，若函数f（x）=
m
•
n
在一个周期内的图象的最高点A、最低点B和一个零点C构成一个直角三角形的三个顶点．（如图所示）
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若0＜ω＜1，当f（x0）=-
4
2
3
x0∈[-
14
3
，-
8
3
]，求f（x0+1）的值．
关于x的方程|x+
1
x
|-|x-
1
x
|-kx-1=0有五个互不相等的实数根，则k的取值范围
 
．
若(
x
-
3
x
)n的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为
 
．
已知数列{an}满足an+1=
(n+2)
a
2
n
-nan+n+1
a
2
n
+1
（n∈N*），Sn是数列{an}的前n项和．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4并推证数列{an}的通项公式；
（2）若a1∈[
1
2
，
3
2
]，求证：|Sn-
n(n+1)
2
|＜1（n∈N*）．
在区间[-2，2]上随机取一个数x，则事件“|x+1|＜1“发生的概率为
 
．

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