Question

17．已知三棱锥S-ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 SA，SB，SC是棱长为2的正方体MNPB-ADCS上具有公共顶点S的三条棱，以B为原点，BM、BP、BS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，三棱锥S-ABC外接球就是棱长为2的正方体MNPB-ADCS的外接球，点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离的最大值，由此能求出点Q到平面ABC的距离的最大值．

解答 解：∵三棱锥S-ABC，满足SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC=2，
∴如图，SA，SB，SC是棱长为2的正方体MNPB-ADCS上具有公共顶点S的三条棱，
以B为原点，BM、BP、BS分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（2，0，2），C（0，2，2），S（0，0，2），N（2，2，0），
$\overrightarrow{BA}$=（2，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（0，2，2），$\overrightarrow{BN}$=（2，2，0），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-2），
三棱锥S-ABC外接球就是棱长为2的正方体MNPB-ADCS的外接球，
∵Q是三棱锥S-ABC外接球上一动点，
∴点Q与N重合时，点Q到平面ABC的距离的最大值，
∴点Q到平面ABC的距离的最大值为：
d=$\frac{|\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2+2+0|}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查点到平面的距离的最大值的求法，考查三棱锥、球、空间直角坐标系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．