Question

8．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=|n-13|，那么满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整数k=2或5．

Answer 1

分析 利用等差数列的求和公式，可得{a_n}的前n项和S_n关于n的分段表达式．已知等式可化为a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数，通过讨论k-1与13的大小，分别得到关于k的方程，解之即得满足条件的正整数k值

解答 解：∵a_n=|n-13|，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{13-n，n≤13}\\{n-13，n＞13}\end{array}\right.$，
∴当n≤13时，{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{25n-{n}^{2}}{2}$，
当n＞13时，{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$（n²-25n+312），
满足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整数，
而S_k+19=$\frac{1}{2}$[（k+19）²-25（k+19）+312]=$\frac{1}{2}$（k²+13k+198），
①当k-1≤13时，S_k-1=-$\frac{1}{2}$k²+$\frac{27}{2}$k-13，
所以S_k+19-S_k-1=$\frac{1}{2}$（k²+13k+198）-（-$\frac{1}{2}$k²+$\frac{27}{2}$k-13）=102，解之得k=2或k=5；
②当k-1＞13时，S_k-1=$\frac{1}{2}$[（k+19）²-25（k+19）+312]=$\frac{1}{2}$（k²-27k+338），
所以S_k+19-S_k-1=$\frac{1}{2}$（k²+13k+198）-$\frac{1}{2}$（k²-27k+338）=102，
解之得k不是整数，舍去
综上所述，满足条件的k=2或5．
故答案为：2或5．

点评 本题给出一个与等差数列有关的数列，叫我们找出满足已知等式的最小正整数k，着重考查了等差数列的通项与求和公式，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．