Question

5．若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得${x^2}\overrightarrow{OA}+2x\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，实数x为（　　）

• A． -2
• B． 0
• C． $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求x的值．

解答 解：∵x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴x²$\overrightarrow{OA}$+2x$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=-x²$\overrightarrow{OA}$-（2x-1）$\overrightarrow{OB}$；
又A、B、C三点共线，
∴-x²-（2x-1）=1，
解得x=0或x=-2；
当x=0时，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{0}$不满足题意，
∴实数x为-2．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的运算法则和三点共线的充要条件应用问题．