Question

9．已知数列{a_n}、{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N^*，都有$\frac{S_n}{T_n}=\frac{{{3^n}+1}}{4}$，则$\frac{a_3}{b_3}$=（　　）

• A． 81
• B． 9
• C． 729
• D． 730

Answer 1

分析 在所给的式子中，分别令n=1、2、3，求得q和q′的值，再利用等比数列的通项公式，求得要求式子的值．

解答 解：数列{a_n}、{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N^*，都有$\frac{S_n}{T_n}=\frac{{{3^n}+1}}{4}$，
设{a_n}，{b_n}的公比分别为q，q′，令n=1，可得 $\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=1，∴a₁=b₁．
再令n=2，可得$\frac{{a}_{1}{+a}_{1}•q}{{b}_{1}{+b}_{1}•q′}$=$\frac{1+q}{1+q′}$=$\frac{5}{2}$，即1+2q=5+5q′，即 2q-4=5q′①．
再令n=3，可得$\frac{{a}_{1}{+a}_{1}•q{+a}_{1}{•q}^{2}}{{b}_{1}{+b}_{1}•q′{+b}_{1}{•q′}^{2}}$=$\frac{1+q{+q}^{2}}{1+q′{+q′}^{2}}$=7，即1+q+q²=7+7q′+7q′²，即q+q²=6+7q′+7q′² ①．
由①②求得q=9，q′=3，
则$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}{•q}^{2}}{{b}_{1}{•q′}^{2}}$=${（\frac{q}{q′}）}^{2}$=9，
故选：B．

点评 本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，求出公比是关键，属于中档题．