Question

空间中有一点“K”，从K放射出四条线段KA、KB、KC、KD．已知KA=3m，KB=4m，KC=5m，KD=6m．问：四面体ABCD体积的最大值是多少？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：当K为四面体ABCD的“垂心”时，四面体体积最大．将四面体ABCD，扩展为正四面体，利用计算正四面体的体积，可得四面体ABCD体积的最大值．

解答： 解：当K为四面体ABCD的“垂心”时，四面体体积最大．假设四面体ABCD体积最大时，K不是四面体的垂心．不妨设KA不垂直BCD． 然后，我们经过K向BCD划垂线，并将垂线反向延长3米，从而得到点T．显然四面体TBCD的体积大于ABCD．这就与假设矛盾了． （KB、KC、KD不垂直的证明过程与此相同） 因此，四面体ABCD体积最大时，K是四面体的垂心．
如图，DA₂A₃A₄为正四面体，KD=KA₂=KA₃=KA₄=6m，K为其中心，截取KA=3m，KB=4m，KC=5m，下面计算D-ABC的体积，
∵

6

4

DA2=6，∴DA₂=4

6

，正四面体的高为h，则

6

3

h=6，∴h=3

6

，
∴正四面体的体积为V=

1

3

×

1

2

×(4

6

)2×

3

2

×3

6

=72

2

，
∴VK-DA2A3=18

2

，
∴V_D-ABC=（

5

6

×

4

6

+

5

6

×

3

6

+

4

6

×

3

6

+

5

6

×

4

6

×

3

6

）×18

2

=

57

2

2

．

点评：本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查学生分析解决问题的能力，确定当K为四面体ABCD的“垂心”时，四面体体积最大是关键．