Question

设偶函数f（x）=

3

sin（2x+φ）-cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

），则（　　）

• A、y=f（x）的对称中心为（

  kπ

  2

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  2

  ）上为减函数
• B、y=f（x）的对称中心为（

  kπ

  2

  +

  π

  4

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  4

  ）上为减函数
• C、y=f（x）的对称中心为（

  kπ

  2

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  4

  ）上为增函数
• D、y=f（x）的对称中心为（

  kπ

  2

  +

  π

  4

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  2

  ）上为增函数

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：把函数f（x）的解析式利用两角差的正弦公式化成标准形式，根据f（x）为偶函数求出φ的值，然后结合正弦函数的对称中心及单调性性求函数f（x）的对称中心及单调性．

解答： 解：f（x）=

3

sin（2x+φ）-cos（2x+φ）
=2sin（2x+φ-

π

6

）
∵函数f（x）为偶函数
∴φ-

π

6

=

π

2

+kπ，（k∈Z）
又∵|φ|＜

π

2

∴φ=-

π

3

∴f（x）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x
由2x=

π

2

+kπ（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（

kπ

2

，0）（k∈Z），
由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z）得：kπ≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z）
当k=0时，函数f（x）的单调增区间为[0，

π

2

]．
故选D．

点评：本题考查了三角函数的奇偶性、单调性及对称性，解题的关键是先把函数解析式利用两角差的公式化成标准形式，在求φ的值时注意φ的取值范围．