Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，.若圆上存在唯一点，使得直线，在轴上的截距之积为，则实数的值为______.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，设的坐标为，据此求出直线、的方程，即可得求出两直线轴上的截距，分析可得，变形可得，即可得的轨迹方程为，据此分析可得圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为，则两圆只能外切，结合圆与圆的位置关系可得，解可得的值，即可得答案．

根据题意，设的坐标为，

直线的方程为，其在轴上的截距为，

直线的方程为，其在轴上的截距为，

若点满足使得直线，在轴上的截距之积为5，则有，

变形可得，则点在圆上，

若圆上存在唯一点，则圆与有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，

又由圆心距为，则两圆只能外切，

则有，

解可得：，

故答案为：．