Question

已知数列{a_n}满足a₂=5，且其前n项和S_n=pn²-n．
（Ⅰ）求p的值和数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T_n满足T₅＜S₅，求b₁的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意，得S₁=p-1，S₂=4p-2，利用a₂=5，S₂=a₁+a₂，可得S₂=4p-2=p-1+5，即可求p的值；再写一式，两式相减，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出T_n，利用T₅＜S₅，建立不等式，即可求b₁的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，得S₁=p-1，S₂=4p-2，
因为 a₂=5，S₂=a₁+a₂，
所以 S₂=4p-2=p-1+5，
解得 p=2．…（3分）
所以 Sn=2n2-n．
当n≥2时，由a_n=S_n-S_n-1，…（5分）
得 an=(2n2-n)-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3．…（7分）
验证知n=1时，a₁符合上式，
所以a_n=4n-3，n∈N^*．…（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得Tn=

b1(1-2n)

1-2

=b1(2n-1)．…（10分）
因为 T₅＜S₅，
所以 b1(25-1)＜2×52-5，
解得 b1＜

45

31

．                                           …（12分）
又因为b₁≠0，
所以b₁的取值范围是(-∞，0)∪(0，

45

31

)．                       …（13分）

点评：本题考查数列的性质和综合应用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．