Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足：“对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立”．
（Ⅰ）求f（0）的值，并指出f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）用增函数的定义证明：函数f（x）是（-∞，0）上的增函数；
（Ⅲ）判断f（x）是否为R上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据奇函数的性质即可求f（0）的值，
（Ⅱ）利用增函数的定义即可证明函数f（x）是（-∞，0）上的增函数；
（Ⅲ）利用举反例即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=-f（-0），即f（0）=0．-----------------------------（2分）
f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．-----------------------------------（4分）
（Ⅱ）法1：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且△x=x₁-x₂＞0，则-x₁＞0，-x₂＞0，----------------（5分）
因为对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立，
所以f（-x₂）=f（-x₁+△x）＞f（-x₁），即f（-x₂）-f（-x₁）＞0．-------------------（7分）
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以△y=f（x₁）-f（x₂）=f（-x₂）-f（-x₁）＞0-----------------------（8分）
所以函数f（x）是（-∞，0）上的增函数．-------------------------（9分）
法2：
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，且x₂-x₁＞0，------（5分）
因为对于区间（0，+∞）上的任意a，b，都有f（a+b）＞f（b）成立，
所以f[-x₂+（x₂-x₁）]＞f（-x₂），即f（-x₁）＞f（-x₂）．-----------------------------（7分）
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），-----------------------（8分）
所以函数f（x）是（-∞，0）上的增函数．-------------------------------（9分）
（Ⅲ）f（x）不一定是R上的增函数．----------------------------（10分）
反例如下：
令f(x)=

- 1 x ，x≠0 0，x=0

或者f(x)=

x-1，x＞0 0，x=0 x+1，x＜0

---------------------------（12分）
学生用画图方式举反例也可以．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．