Question

若tanα+tanβ+tanγ=

17

6

，cotα+cotβ+cotγ=-

4

5

，cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcota=-

17

5

，则tan（α+β+γ）=

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：综合题,三角函数的求值

分析：先由第三个等式去分母得：tanα+tanβ+tanγ=-

17

5

tanαtanγtanβ；结合条件tanα+tanβ+tanγ=

17

6

，知tanαtanγtanβ=-

5

6

；②再由cotα+cotβ+cotγ=

1

tanα

+

1

tanβ

+

1

tanγ

=-

4

5

，得tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=

2

3

③，根据两角和的正切公式，得到tan（α+β）与tanγ的关系式，与条件1再结合，能得到一个只有变量tanγ的等式，化简通过整理可得答案．

解答： 解：∵cotαcotβ+cotαcotγ+cotβcotγ=-

17

5

，
∴

1

tanαtanβ

+

1

tanαtanγ

+

1

tanγtanβ

=-

17

5

，
去分母：tanα+tanβ+tanγ=-

17

5

tanαtanγtanβ；
∵tanα+tanβ+tanγ=

17

6

，①
∴tanαtanγtanβ=-

5

6

；②
∵cotα+cotβ+cotγ=

1

tanα

+

1

tanβ

+

1

tanγ

=-

4

5

，
去分母：-

4

5

tanαtanγtanβ=tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ，
∴tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=-

4

5

×（-

5

6

）=

2

3

；③
 令tanα+tanβ+tanγ=

17

6

=A，tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=

2

3

=B，tanαtanγtanβ=-

5

6

=C，
 则tan（α+β+γ）=tan[（α+β）+γ]
=

tan(α+β)+tanγ

1-tan(α+β)tanγ

=

tanα+tanβ 1-tanαtanβ +tanγ

1- tanα+tanβ 1-tanαtanβ •tanγ

 
=

A-C

1-B

=

17 6 -( 5 6 )

1- 2 3

=

11

3

×3=11．
故答案为：11．

点评：本题考查两角和的正切公式，着重考查化归思想与整体代入思想，考查综合分析与运算求解能力，属于难题．