Question

已知数列{a_n}的首项a₁=3，前n项和为S_n，且S_n+1=3S_n+2n（n∈N）．记T_n为数列{a_n+1}前n项和，求

Tn+ 1 2

Tn+2n

的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式S_n+1=3S_n+2n得到a_n+1=2S_n+2n，取n=n-1（n≥2）得到另一递推式，作差后得到从第二项开始，数列{a_n+1}是等比数列．由等比数列的求和公式求出其前n项和，代入

Tn+ 1 2

Tn+2n

整理后可求最小值．

解答： 解：由S_n+1=3S_n+2n，得
S_n+1-S_n=2S_n+2n，
a_n+1=2S_n+2n   ①
∴a_n=2S_n-1+2（n-1）（n≥2）②
①-②得：a_n+1-a_n=2a_n+2 （n≥2），
a_n+1=3a_n+2 （n≥2），
a_n+1+1=3（a_n+1）（n≥2）．
∴从第二项开始，数列{a_n+1}是等比数列．
在S_n+1=3S_n+2n中，令n=1，得
S₂=3S₁+2=3a₁+2=3×3+2=11，
a₂=S₂-a₁=11-3=8，
a₁+1=4，a₂+1=9，
a₂+1不是a₁+1的3倍．
∴{a_n+1}从第二项起是等比数列．
则Tn=4+

9(1-3n-1)

1-3

=

1

2

(3n+1-1)．
∴

Tn+ 1 2

Tn+2n

=

3n+1 2

3n+1 2 +2n- 1 2

=

3n+1

3n+1+2n+1-1

=

1

1+( 2 3 )n+1-( 1 3 )n+1

．
由指数函数y=(

2

3

)x与y=(

1

3

)x的图象可知，
当n逐渐增大时，(

2

3

)n+1-(

1

3

)n+1大于0逐渐减小，
∴只有当n=1时，

Tn+ 1 2

Tn+2n

取最小值

32

32+22-1

=

3

4

．

点评：本题考查了数列递推式，关键是由递推式构造出等比数列，考查了指数函数的图象和性质，是有一定难度题目．