Question

已知一次函数f（x）=kx+b的图象经过点P（1，2）和Q（-2，-4），令a_n=f（n）f（n+1），n∈N^*，记数列{

1

an

}的前项和为S_n，当Sn=

6

25

时，n的值等于（　　）

• A、24
• B、25
• C、23
• D、26

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件，先求出f（x），再由a_n=f（n）f（n+1），n∈N^*，求出a_n，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

an

}的前项和为S_n，从而能求出Sn=

6

25

时，n的值．

解答： 解：∵一次函数f（x）=kx+b的图象经过点P（1，2）和Q（-2，-4），
∴

2=k+b -4=-2k+b

，
解得k=2，b=0，
∴f（x）=2x，
∵a_n=f（n）f（n+1），n∈N^*，
∴a_n=2n•2（n+1）=4n（n+1），
∴

1

an

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

=

6

25

，
解得n=24．
故选：A．

点评：本题考查数列的前n项和的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．