Question

已知函数f（x）=x²，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的最小值．
（Ⅱ）上下平移f（x）的图象为c个单位，当c为何值时，f（x）平移后的图象与g（x）的图象有公共点且在公共点处切线相同．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的图象与图象变化

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把f（x），g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x），利用导数求其最小值；
（Ⅱ）设出公共点的坐标，分别求出过公共点的两曲线的切线方程，由系数相等求得c的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²，g（x）=2lnx，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x²-2lnx （x＞0），
h′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数．
∴h（x）的最小值为h（1）=1；
（Ⅱ）设对f（x）平移后的函数解析式为t（x）=f（x）+c=x²+c，
再设具有公切线的公共点为（x₀，y₀），
由点（x₀，y₀）在t（x）上，得y0=t(x0)=x02+c，
t′（x₀）=2x₀，
∴切线方程为y-x02-c=2x0(x-x0)，
整理得：y=2x0x-x02+c．
再由点（x₀，y₀）在g（x）上，得y₀=g（x₀）=2lnx₀，
g′(x0)=

2

x0

，
∴切线方程为y-2lnx0=

2

x0

(x-x0)，
整理得：y=

2

x0

•x-2+2lnx0．
∴

2x0= 2 x0 2lnx0-2=c-x02

，解得：c=-1．
∴c的值为-1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，训练了利用比较系数法
求参数问题，是中档题．