Question

设a∈R，f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R）是奇函数，
（1）求a的值；
（2）解不等式f（1-5x）+f（6x²）＞0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的定义域是R且是奇函数，得f（0）=0可求得实数a的值；
（2）将解析式分离常数后判断出单调性，再利用定义法证明函数的单调性，利用函数的奇偶性将不等式转化为：f（1-5x）＞-f（6x²）=f（-6x²），然后利用单调性解不等式．

解答： 解：（1）∵f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

的定义域为R，且是奇函数，
∴f（0）=

a+a-2

2+1

=0，解得a=1，
（2）由（1）得，f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴f(x)=1-

2

2x+1

在R上单调递增函数，
证明如下：设x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)
=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
由f（1-5x）+f（6x²）＞0得，f（1-5x）＞-f（6x²）=f（-6x²），
∴1-5x＞-6x²，即6x²-5x+1＞0，
解得x＞

1

2

或x＜

1

3

，
故不等式的解集为：{x|x＞

1

2

或x＜

1

3

}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用定义法证明函数的单调性，以及函数单调性和奇偶性的综合应用，利用函数的奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．