Question

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}前n项和，且

Sn

-1=

Sn-1

（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+2^n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n，求T_n；
（3）对任意n∈N^*不等式T_n≥m²-2m-1恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件

Sn

=n，从而得到Sn=n2，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由已知条件推导出bn=an+2n-1=（2n-1）+2^n-1，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）由Tn-2=(n2+2n-1)-2，推导出T_n≥2．由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知a₁=1，

Sn

-

Sn-1

=1，n≥2，
∴数列{S_n}是以

S1

=

a1

=1为首项，以1为公差的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）•1=n，
∴Sn=n2，①
n≥2时，S_n-1=（n-1）²，②
①-②得，an=n2-(n-1)2=2n-1，n≥2，
∵a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
（2）bn=an+2n-1=（2n-1）+2^n-1，
∴T_n=（1+2⁰）+（3+2）+（5+2²）+…+（（2n-1）+2^n-1）
=（1+3+5+…+（2n-1））+（2⁰+2+2²+…+2^n-1）
=

n(1+2n-1)

2

+

1•(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ-1．
（3）Tn-2=(n2+2n-1)-2
=（n²-1）+（2ⁿ-2），n∈N^*）
=（n+1）（n-1）+2（2ⁿ⁺¹-1），
∵n≥1，∴（n+1）（n-1）≥0，2ⁿ⁺¹≥1，
∴T_n-2≥0，∴T_n≥2．
∵对任意n∈N^*不等式T_n≥m²-2m-1恒成立，
∴m²-2m-1≤2，
解得-1≤m≤3．
∴m的取值范围[-1，3]．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．