Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，在四边形ABC₁D₁内随机取一点M，则∠AMB≥90°的概率为

 

，∠AMB≥135°的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：计算题,概率与统计

分析：由题意通过圆和三角形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．

解答： 解：四边形ABC₁D₁为长方形，AB=2，BC₁=2

2

，
以AB为直径圆内的区域为满足∠AMB＞90°的区域，半圆的面积为

1

2

π×1²=

π

2

；
四边形ABC₁D₁的面积为4

2

．
∴满足∠AMB≥90°的概率为

π 2

4 2

=

2 π

16

；
以AB为底边，向正方形外作顶角为90°的等腰三角形，以等腰三角形的顶点O为圆心，OA为半径作圆，
根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．即当M取圆O与ABCD的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°
其中AB=2，OA=

2

2sin135°

=

2

，

故所求的概率为：

1 4 π•2- 1 2 •2•1

4 2

=

2 π-2 2

16

．
故答案为：

2 π

16

；

2 π-2 2

16

．

点评：本题考查几何概型的概率计算，关键是确定满足条件的区域，利用面积比值求解．