Question

19．求下列数列{a_n}的通项公式：
（1）a₁=1，a_n+1=2a_n+1；
（2）a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$
（3）a₁=2，a_n+1=a_n²．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式得到a_n+1+1=2（a_n+1），由等比数列的定义得数列{a_n+1}是等比数列，并求出首项和公比，由等比数列的通项公式求出a_n；
（2）先化简a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$后，利用两边同除a_na_n+1得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，由等差数列的定义得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，并求出首项和公差，由等差数列的通项公式求出a_n；
（3）由数列的递推公式求出a₂，a₃，a₄，归纳出a_n，由数学归纳法证明结论成立．

解答 解：（1）由a_n+1=2a_n+1得，a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2≠0，
∴数列{a_n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ-1；
（2）由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$得，a_n+1（2+a_n）=2a_n，
∴2a_n+1+a_na_n+1=2a_n，
两边同除a_na_n+1得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
又a₁=1，则$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（3）∵a₁=2，a_n+1=a_n²，
∴a₂=2²、
a₃=2⁴、
a₄=2⁸、…，
∴归纳出a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$，下面那个数学归纳法证明：
证明：当n=1时，a₁=2=${2}^{{2}^{0}}$，结论成立；
假设n=k时结论成立，${a}_{k}{=2}^{{2}^{k-1}}$，
当n=k+1时，${a}_{k+1}={{a}_{k}}^{2}{=（2}^{{2}^{k-1}}）^{2}$=${2}^{{2•2}^{k-1}}$=${2}^{{2}^{k+1-1}}$，
∴n=k+1时结论成立，
综上可得，数列{a_n}的通项公式a_n=${2}^{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推公式的化简与变形，利用等差、等比数列的定义确定等差、等比关系，以及等差、比数列的通项公式，考查了构造法，归纳法在求通项公式中的应用，考查化简、变形能力．