Question

19．圆C₁的方程是${（x-3）^2}+{y^2}=\frac{4}{25}$，圆C₂的方程是$（x-3-cosθ{）^2}+（y-sinθ{）^2}=\frac{1}{25}（θ∈R）$，过C₂上任意一点P作圆C₁的两条切线PM，PN，切点分别为M、N，则∠MPN的最大正切值是$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 ∠MPN最大时，|PC₁|最大，最大为|C₁C₂|+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，利用正切公式，即可求出∠MPN的最大正切值．

解答 解：${（x-3）^2}+{y^2}=\frac{4}{25}$的圆心C₁（3，0），半径等于$\frac{2}{5}$，圆C₂的方程是$（x-3-cosθ{）^2}+（y-sinθ{）^2}=\frac{1}{25}（θ∈R）$，圆心C₂（3+cosθ，sinθ），半径等于$\frac{1}{5}$．
∠MPN最大时，|PC₁|最大，最大为|C₁C₂|+$\frac{1}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴PM=$\sqrt{\frac{36}{25}-\frac{4}{25}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴tan∠MPC₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠MPN=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{4}}{1-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查∠MPN的最大正切值，考查圆与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．