Question

14．若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用椭圆的离心率求出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
即：$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
在则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中，由$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，即$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{7}{4}$，∴e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查一的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，圆锥曲线的综合应用，是基础题．