Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）若b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）求数列{a_n}得通项公式．

Answer 1

分析 （1）直接由已知结合数列递推式求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）把已知数列递推式变形，得到$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，结合b_n=a_n+1，可得数列{b_n}是等比数列；
（3）由（2）即可求得数列{b_n}的通项公式，进一步求得数列{a_n}得通项公式．

解答 （1）解：由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，a₄=2a₃+1=15；
（2）证明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，
即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=2$．
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列；
（3）解：由数列{b_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
得${b}_{n}={2}^{n}$，即a_n+1=2ⁿ，
∴${a}_{n}={2}^{n}-1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，是中档题．