题目内容
5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则$\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{FC}$等于（ ）| A． | $\frac{1}{8}$ | B． | $-\frac{1}{8}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$ | D． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{8}$ |
分析 建立空间坐标系，求出各向量坐标，即可得出答案．
解答 
解：由题意可知棱锥A-BCD为正四面体，
以底面BCD的中心O为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，-$\frac{1}{2}$，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{1}{2}$，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
∵E，F是AB，AD的中点，
∴E（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），F（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
∴$\overrightarrow{ED}$=（$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{3}{4}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），$\overrightarrow{FC}$=（-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
∴$\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{CF}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$•（-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$）+$\frac{3}{4}$•（-$\frac{1}{4}$）+（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）•（-$\frac{\sqrt{6}}{6}$）=-$\frac{1}{8}$．
故选：B．
点评 本题考查了空间向量的数量积运算，属于中档题．
练习册系列答案
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15．已知向量$\overrightarrow{a}$与向量$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），|$\overrightarrow{a}$|=2，则向量$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为（ ）
| A． | $-\frac{{\sqrt{33}}}{8}$ | B． | $\frac{\sqrt{33}+1}{8}$ | C． | -$\frac{\sqrt{33}+1}{8}$ | D． | $\frac{1-\sqrt{33}}{8}$ |
如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}a$，点E是PD中点．