Question

20．在数列{a_n}中，若${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，则数列{a_n}的通项公式a_n=n×2^n-1．

Answer 1

分析 ${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$．利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
可得a_n=n•2^n-1．
故答案为：n•2^n-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．