Question

10．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=$\sqrt{2}a$，点E是PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AB=AD=AC=a，PA⊥AB，PA⊥AD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，从而∠EHG即为二面角E-AC-D的平面角，由此能示出二面角E-AC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a，
在△PAB中，∵PA²+AB²=2a²=PB²，∴PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，
∵AD∩AB=A，∴PA⊥平面ABCD．
解：（2）作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，
∴∠EHG即为二面角E-AC-D的平面角θ．
又PE=ED，∴EG=$\frac{1}{2}a$，AG=$\frac{1}{2}a$，GH=AGsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴$cosθ=\frac{EG}{EH}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴二面角E-AC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．